1. Получить методами интегральных, дифференциальных уравнений и методом графов (не менее чем двумя методами) для указанных в задании типов систем общие соотношения и расчетные формулы для критериев надежности систем: вероятности безотказной работы P(t), среднего времени безотказной работы m_t(для невосстанавливаемых систем), среднего времени восстановления m_t_в, коэффициента готовности k_г, наработки на отказ m_t(для восстанавливаемых систем), среднего времени восстановления m_t_в, вероятности успешного использования системы .

2. Рассчитать для указанных в задании параметров, по полученным в п.1 выражениям, критерии надежности систем.

3. Исследовать влияние на надежность систем:

а) интенсивности отказов – P(l), m_t(l), k_г(l), m_tв(l), R(l);

б) интенсивности отказов при облегченном режиме работы системы – P(l₀), m_t(l₀); m_tв(l₀), k _г(l₀), R(l₀);

в) интенсивности восстановления – P(m), m_t(m), k_г(m), R(m);

г) числа резервных блоков для различных типов резерва – P_г(S), P_т(S), P_х(S), m_tг(S),

m_t_т (S), m_tx(S), k_г(S), R(S), P_г_,т_,х(S), mt_г_,т_,х(S), mtв_г_,т_,х, kг_г_,т_,х(S), R_г_,т_,х(S)

4. Провести сравнение (по вероятности безотказной работы, среднему времени безотказной работы и коэффициенту готовности) рассчитанные типы систем:

- резервированной и не резервированной систем;

- различных типов резерва;

- восстанавливаемой и невосстанавливаемой систем.

2. Невосстанавливаемая резервированная система с комбинированным резервом

2.1. Расчет критериев надежности системы

С учетом значений W и S, приведенных в исходных данных, имеем исходную схему, представленную на рисунке 3:

Рис. 3 Исходная схема для расчета с учетом значений W и S

Здесь элементы 2, 3, 4 – нагруженный резерв основного элемента 1, элементы 5, 6, 7, 8 – ненагруженный резерв.

Найдем вероятностные характеристики данной системы методом дифференциальных уравнений. Для этого сначала построим вероятностный граф состояний (ВГС). За состояние примем количество неисправных элементов системы. Рассмотрим случай, когда сначала используются элементы из горячего резерва, потом из холодного.

Полученный вероятностный граф представлен на рисунке 4:

Рис. 4 Вероятностный граф для рассчитываемой системы

На основе полученного графа состояний запишем систему дифференциальных уравнений:

Начальные условия для этой системы таковы:

Проведем для вышеприведенной системы уравнений прямое преобразование Лапласа. В результате получим следующую систему:

Решим полученную систему линейных уравнений. В результате получим:

Для полученных выражений проведем обратное преобразование Лапласа. В результате получим:

Отсюда получаем, что вероятность безотказной работы системы равна:

P(480) = 0,9995

Время наработки на отказ равно

=2433.3333 час.

2.2. Исследование

2.2.1. Влияние интенсивности отказов

Рассмотрим графическое представление зависимости вероятности безотказной работы системы от интенсивности отказов.

Рис. 5 Зависимость вероятности безотказной работы системы от интенсивности отказов

Рассмотрим графическое представление зависимости среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов.

Рис. 6 Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов

2.2.2. Влияние числа резервных элементов

Решая указанную выше систему дифференциальных уравнений для различных W (далее обозначим число элементов в горячем резерве как n = W-1) и S можно получить зависимости параметров надежности от числа резервных элементов.

Рассмотрим графическое представление зависимости вероятности безотказной работы на заданном участке времени от числа резервных элементов S в холодном резерве:

Рис. 7 Зависимость вероятности безотказной работы от числа элементов S в холодном резерве

Рассмотрим графическое представление зависимости времени наработки на отказ в зависимости от числа резервных элементов S:

Рис. 8 Зависимость времени наработки на отказ в зависимости от числа элементов S в холодном резерве

Рассмотрим графическое представление зависимости вероятности безотказной работы на заданном участке времени от числа резервных элементов N в горячем резерве:

Рис. 9 Зависимость вероятности безотказной работы от числа элементов n в горячем резерве

Рис. 10 Зависимость времени наработки на отказ в зависимости от числа элементов n в горячем резерве

3. Восстанавливаемая резервированная система с целой кратностью при ограниченном ремонте

3.1. Расчет критериев надежности

3.1.1. Система с нагруженным резервом

С учетом значения числа S из исходных данных имеем следующую систему, представленную на рисунке 9:

Рис. 11 Схема для расчета с нагруженным резервом

Рассчитаем критерии надежности для данной системы.

Для расчета времени наработки на отказ воспользуемся формулой [2, стр.62]:

m_t= , где

n – количество резервных элементов (т.е. n=3);

N – суммарное количество элементов в системе (т.е. N=n+1).

Подставляя в данную формулу значения параметров µ, l получаем, что

m_t = час.

Для расчета среднего времени восстановления воспользуемся формулой [2, стр.62]:

m_t_в=

Подставляя в данную формулу значение параметра µ получаем, что

m_t_в
=0.125 час.

Вероятность безотказной работы рассчитаем по формуле [2, стр.62]:

0.9999999991.

Коэффициент готовности системы рассчитаем по формуле [2, стр.62]:

, где

n – количество резервных элементов (т.е. n=3);

N – суммарное количество элементов в системе (т.е. N=n+1).

Подставляя в данную формулу значения параметров µ, l получаем, что

k_{г =}0.999999999996.

Вероятность успешного использования системы рассчитаем по формуле [2, стр.62]:

3.1.2. Система с ненагруженным резервом

С учетом значения числа S из исходных данных имеем следующую систему, представленную на рисунке 10:

Рис. 12 Схема для расчета с ненагруженным резервом

Рассчитаем критерии надежности для данной системы.

Для расчета времени наработки на отказ воспользуемся формулой [2, стр.63]:

m_t= , где

n – количество резервных элементов (т.е. n=3).

Подставляя в данную формулу значения параметров µ, l получаем, что

m_t = час.

Для расчета среднего времени восстановления воспользуемся формулой [2, стр.63]:

m_t_в=

Подставляя в данную формулу значение параметра µ получаем, что

m_t_в
=0.125 час.

Вероятность безотказной работы рассчитаем по формуле [2, стр.63]:

0.99999999996.

Коэффициент готовности системы рассчитаем по формуле [2, стр.63]:

, где

n – количество резервных элементов (т.е. n=3);

Подставляя в данную формулу значения параметров µ, l получаем, что

k_{г =}0.99999999999999.

Вероятность успешного использования системы рассчитаем по формуле [2, стр.63]:

3.1.3. Система с частично нагруженным резервом

С учетом значения числа S из исходных данных имеем следующую систему, представленную на рисунке 11:

Рис. 13 Схема для расчета с частично нагруженным резервом

Построим вероятностный граф состояний (ВГС) системы. За состояние примем количество неисправных элементов системы.

Рис. 14 Граф состояний рассматриваемой системы

Как видно, системы отказывает, когда не работают все 4 элемента системы (один основной и три резервных). Найдем вероятность нахождения системы в 4-м состоянии (когда все 4 элемента отказали). Зная её можно найти коэффициент готовности системы. Для этого воспользуемся методом графов.

Согласно методу вероятность нахождения в j-м состоянии равна

, где

и - произведения интенсивностей переходов из всех крайних состояний соответственно в j-е и i-е состояния при движении по кратчайшему пути в направлении стрелок;

k+1 – число состояний системы [1, стр. 121].

С учетом того, что k=3, пользуясь графом состояний, представленным на рисунке 12, получаем следующее выражение для вероятности :

Подставляя значения , и получаем следующее значение для вероятности :

Отсюда получаем значение коэффициента готовности:

Для расчета среднего времени восстановления воспользуемся формулой

m_t_в=

Подставляя в данную формулу значение параметра µ получаем, что

m_t_в
=0.125 час.

Рассчитаем теперь, пользуясь методом дифференциальных уравнений, оставшиеся параметры надежности системы - среднее время наработки на отказ и вероятность безотказной работы. Данные параметры рассчитываются при условии, что состояние отказа является поглощающим, то есть система, попавшая в это состояние, не может больше из него выйти.

С учетом указанного условия и графа состояний на рисунке 12 получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

Начальные условия для рассматриваемой системы таковы:

Проведем для вышеприведенной системы уравнений с учетом начальных условий прямое преобразование Лапласа. В результате получим следующую систему:

Преобразуем систему к следующему виду:

В матричном виде данная система будет иметь следующий вид:

Определим вероятность состояния системы Р₄(s) с помощью правила Крамера: .

= =

Выполним обратное преобразование Лапласа и подставим значение t=480 часов. В итоге получаем:

Отсюда получаем значение вероятности безотказной работы системы

P(t=480) = 1 - = 0.99999999990

Время наработки на отказ равно

Вероятность успешного использования системы рассчитаем по формуле

3.2. Исследование

3.2.1. Влияние интенсивности отказов на систему

3.2.1.1. Система с нагруженным резервом

Оценим графически зависимости параметров надежности от интенсивности отказов – m_t(l), P(l), k_г(l), m_tв(l), R(l).

Рис. 15 Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности отказов

Рис. 16 Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов

Рис. 17 Зависимость коэффициента готовности от интенсивности отказов

Рис. 18 Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности отказов

Рис. 19 Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности отказов

3.2.1.2. Система с ненагруженным резервом

Рис. 20 Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов

Рис. 21 Зависимость вероятности безотказной работы системы от интенсивности отказов

Рис. 22 Зависимость коэффициента готовности системы от интенсивности отказов

Рис. 23 Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности отказов

Рис. 24 Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности отказов

3.2.1.3. Система с частично нагруженным резервом

Рис. 25 Зависимость коэффициента готовности системы от интенсивности отказов

Рис. 26 Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности отказов

Рис. 27 Зависимость среднего времени наработки на отказ в зависимости от интенсивности отказов

Рис. 28 Зависимость вероятности отказа системы от интенсивности отказа

Рис. 29 Зависимость вероятности успешного использования от интенсивности отказов

3.2.2. Влияние интенсивности отказов при облегченном режиме работы системы

Рис. 30 Зависимость коэффициента готовности системы от интенсивности отказов

Рис. 31 Зависимости среднего времени восстановления от интенсивности отказов

Рис. 32 Зависимости средней наработки на отказ от интенсивности отказов

Рис. 33 Зависимости вероятности безотказной работы от интенсивности отказов

Рис. 34 Зависимость вероятности успешного использования в зависимости от интенсивности отказов

3.2.3. Влияние на систему интенсивности восстановления

3.2.3.1. Система с нагруженным резервом

Рис. 35 Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности восстановления

Рис. 36 Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности восстановления

Рис. 37 Зависимость коэффициента готовности от интенсивности восстановления

Рис. 38 Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности восстановления

3.2.3.2. Система с ненагруженным резервом

Рис. 39 Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности восстановления

Рис. 40 Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности восстановления

Рис. 41 Зависимость коэффициента готовности от интенсивности восстановления

Рис. 42 Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности восстановления

3.2.3.3. Система с частично нагруженным резервом

Рис. 43 Зависимость коэффициента готовности от интенсивности восстановления

Рис. 44 Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности восстановления

Рис. 45 Зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности восстановления

Рис. 46 Зависимость вероятности успешного использования системы от интенсивности восстановления

3.2.4. Влияние на систему числа резервных блоков

3.2.4.1. Система с нагруженным резервом

Рис. 47 Зависимость времени наработки на отказ от числа резервных элементов

Рис. 48 Зависимость вероятности безотказной работы от числа резервных элементов

Рис. 49 Зависимость среднего времени восстановления от числа резервных элементов

Рис. 50 Зависимость коэффициента готовности от числа резервных элементов

Рис. 51 Зависимость вероятности успешного использования системы от числа резервных элементов

3.2.4.2. Система с ненагруженным резервом

Рис. 52 Зависимость времени наработки на отказ от числа резервных элементов

Рис. 53 Зависимость вероятности безотказной работы от числа резервных элементов

Рис. 54 Зависимость коэффициента готовности от числа резервных элементов

Рис. 55 Зависимость среднего времени восстановления от числа резервных элементов

Рис. 56 Зависимость вероятности успешного использования системы от числа резервных элементов

3.2.4.2. Система с частично нагруженным резервом

Рис. 57 Зависимость среднего времени восстановления от числа резервных элементов

Рис. 58 Зависимость коэффициента готовности от числа резервных элементов

Рис. 59 Зависимость времени наработки на отказ от числа резервных элементов

Рис. 60 Зависимость вероятности безотказной работы от числа резервных элементов

Рис. 61 Зависимость вероятности успешного использования системы от числа резервных элементов

4. Невосстанавливаемая система без резервирования

4.1. Расчет параметров надежности для сравнения

Вероятность безотказной работы рассчитаем по формуле

Подставляя значения интенсивности отказов и времени t, получаем:

Рассчитаем время наработки на отказ

5. Восстанавливаемая система без резервирования

5.1. Расчет параметров надежности для сравнения

Рассчитаем среднее время наработки на отказ

Рассчитаем среднее время восстановления

Коэффициент готовности рассчитаем по формуле

Вероятность безотказной работы рассчитаем по формуле

Вероятность успешного использования системы равна:

6. Выводы по курсовой работе

6.1. Сравнение по критериям надёжности различных типов систем

Результаты расчёта исследуемых в курсовой работе схем приведены в таблице 2. Критерии надёжности вычислены для интенсивности отказов элемента (l)=2.5*10^-3 1/час, интенсивности восстановления элемента (m)=8 1/час, интенсивности отказов при облегчённом режиме работы элемента (l₀)=5*10^-4, количества элементов резервирования S=4 и W=4.

Таблица 2 Результаты расчёта схем

Пара-метр	Невосстанав-ливаемая система без резервирова-ния	Невосстанавли-ваемая резервированная система с комбинирован-ным резервом	Восста-навливаемая система без резервиро-вания	Восстанавливаемая резервированная система с целой кратностью при ограниченном ремонте
Пара-метр	Невосстанав-ливаемая система без резервирова-ния		Восста-навливаемая система без резервиро-вания	Нагруженный резерв	Частично нагруженный резерв	Ненагруженный резерв
P	0,301	0,9995	0,301	0,9999999991	0,99999999990	0.99999999996
К_Г	-	-	0,99968	0,999999999996	0,99999999999997	0,99999999
m_t, ч	400	2433.3333	400
m_tB, ч	-	-	0,125	0,125	0,125	0,125
R(480)	-	-	0,3	0,9999999991	0,9999999998	0.99999999996

6.1.1. Сравнение резервированной и нерезервированной невосстанавливаемых систем

При резервировании комбинированным резервом невосстанавливаемой системы вероятность безотказной работы увеличилась в 3,32 раза, а время наработки на отказ увеличилось приблизительно в 6 раз. Как видно из графиков (рис. 7-10), при увеличении количества элементов горячего или холодного резерва система ведёт себя по разному. В обоих случаях происходит увеличение значений критериев надёжности (P и l), но при наращивании элементов холодного резерва эти показатели увеличиваются намного быстрей.

Также исследования показали, что при увеличении l показатели надёжности системы резко уменьшаются. (при l=0.03 вероятность безотказной работы близка к 0).

6.1.2. Сравнение резервированной и нерезервированной восстанавливаемых систем

Если рассматривать последовательно восстанавливаемые системы без резервирования, с нагруженным резервом, с частично нагруженным резервом и с ненагруженным резервом, то можно заметить, что коэффициент готовности изменяется незначительно, однако он увеличивается.

Среднее время наработки на отказ m_t увеличилось для нагруженного резерва в
раз, для частично нагруженного резерва в раз и для ненагруженного резерва в раз. Таким образом влияние резервирования на среднее время наработки на отказ очень значительное.

Вероятность безотказной работы P и вероятность успешного использования системы R увеличились с 0,301 до значений порядка 0,999999999, то есть почти единица, а среднее время восстановления m_tB при введении резервирования не изменилось, т.к. время восстановления у всех элементов одинаковое.

Таким образом видно, что для восстанавливаемых систем резервирование приводит к значительно большему улучшению показателей надёжности, чем для невосстанавливаемых систем.

6.1.3. Сравнение различных типов резервирования

При выполнении курсовой работы были рассмотрены несколько типов резерва у восстанавливаемой системы (нагруженный, частично нагруженный и ненагруженный резервы). Для всех типов резервов характерно уменьшение значений показателей надёжности схемы при увеличении l. При увеличении m наоборот, значения показателей надёжности увеличиваются. Самые лучшие значения у схемы с ненагруженным резервом, т.к. ненагруженные резервные элементы не отказывают, пока их не переведут в основной режим работы. Самые худшие значения показателей надёжности у схемы с нагруженным резервом. Время наработки на отказ m_t у схемы с нагруженным резервом почти на порядок меньше, чем у схемы с частично нагруженным резервом и почти в 1500 раз меньше, чем у схемы с ненагруженным резервом.

Таким образом, с точки зрения значений показателей надёжности лучшим является ненагруженный резерв.

6.2. Общие выводы по работе.

1) С увеличением интенсивности потока отказов вероятность безотказной работы, коэффициент готовности, среднее время работы (наработки на отказ) и вероятность успешного использования системы уменьшаются, а среднее время восстановления системы после отказа – не изменяется. Это верно для всех типов систем.

2) С увеличением интенсивности восстановления вероятность безотказной работы, коэффициент готовности, среднее время работы (наработки на отказ) и вероятность успешного использования системы увеличиваются, а среднее время восстановления системы после отказа – уменьшается. Это верно для всех типов систем.

3) С увеличением количества резервных элементов вероятность безотказной работы, коэффициент готовности, среднее время работы (наработки на отказ) и вероятность успешного использования системы увеличиваются, а среднее время восстановления системы после отказа – не изменяется. Это верно для всех типов систем.

4) С точки зрения характеристик надежности при различных типах резервирования системы располагаются в следующем порядке (сначала самые надежные и дальше по убыванию):

1) Восстанавливаемая резервированная система с ненагруженным резервом

2) Восстанавливаемая резервированная система с частично нагруженным резервом

3) Восстанавливаемая резервированная система с нагруженным резервом

4) Восстанавливаемая нерезервированная система

7. Список литературы.

Дружинин Г.В. “Надёжность автоматизированных систем” Изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Энергия», 1977 г.
“Надёжность технических систем” под ред. Ушакова. М., 1985 г.
Курс лекций Кузовлева В.И. по курсу “Надёжность и достоверность в АСОИУ”, 2007 г.