Временная диаграмма СМО

Входящие стрелки снизу указывают на поступление требования.

Стрелки выходящие вверх обозначают уход требования.

Распределение числа требований N(z) в системе M/G/1

Предположим, что все требования обслуживаются в порядке поступления.

Установим связь между случайными величинами:

– число требований, остающихся в системе в момент ухода требования ;

Рассмотрим два случая:

Первый имеет место, когда уходящее требование не оставляет систему пустой, то есть .

- время обслуживания .

- число требований за .

случай
Так как требования покидает систему ,
.

Второй случай имеет место, требование оставляет систему пустой, то есть , тогда

случай

Обобщая оба случая, приходим к выводу, что система M/G/1 характеризуется равенством:

Определим производящую функцию случайной величины :

и производящую функцию предельной случайной величины :

Образуем производящую функцию от полученного равенства

Так как случайная величина - число требований поступивших за не зависит от – число требований в системе в момент ухода требования , тогда

где .

Так как входящий поток – пуассоновский, то имеем:

Меняя порядок операций суммирования и интегрирования, получаем:

Так как .

Определяем теперь преобразование Лапласа плотности времени обслуживания: .

Сравнивая , получим важный результат:

Преобразование Лапласа плотности вероятности времени обслуживания в точке равно производящей функции распределения вероятностей числа требований за время одного обслуживания .

Итак:

;

Теперь отдельно рассмотрим

Решая относительно , получим первое уравнение Поллячика-Хинчина для преобразований:

Рассмотрим ещё раз временную диаграмму СМО типа M/G/O, предполагая, что все требования обслуживаются в порядке поступления

Дело в том, что соотношение

справедливо между любыми случайными величинами, одну из которых можно отождествить с числом поступающих требований при пуассоновском потоке, а другую – с промежутком времени, в течение которого подсчитывается число поступающих требований, поэтому

что можно вывести и непосредственно.

Распределение времени пребывания в системе M/G/1

Учитывая , первое уравнение Поллячика-Хинчина можно записать в виде:

Введя замену переменной , имеем

Это второе уравнение Поллячика-Хинчина для преобразований даёт выражение преобразования Лапласа распределения времени пребывания требования в системе.

Так как и учитывая, что – время обслуживания требования не зависит от – времени ожидания этого требования в очереди и, что при сложении двух независимых случайных величин перемножаются преобразования Лапласа соответствующих функций распределения, получаем третье уравнение Поллячика – Хинчина для преобразования Лапласа распределения времени ожидания требования в очереди, то есть

Различные производные производящей функции, вычисленные в точке z=1, дают возможность вычислить соответствующие моменты рассматриваемой случайной величины:

Точно также для непрерывных случайных величин можно найти моменты, вычисляя в точке соответствующие производные преобразования Лапласа рассматриваемой случайной величины:

Используем теперь равенство для получения моментов случайной величины :

Полагая теперь , то есть , имеем

Мы получили хорошо обоснованное заключение о том, что ожидаемое число поступающих требований за время одного обслуживания равно , что согласуется с полученными ранее результатом для G/G/1.

Уравнение Поллячика-Хинчина для преобразований позволяет найти моменты распределения числа требований в системе:

Дисперсия случайной величины x или второй центральный момент

здесь:

– второй начальный момент;

– квадрат первого начального момента;

Если обозначить:

– нормированная дисперсия;

– стандарт;

– коэффициент вариации;

То учитывая:

Это и есть результат, к которому мы стремились. Это выражение представляет собой среднее число преобразований в системе M/G/1, которое обычно называют формулой Поллячика - Хинчина для среднего значения.

Среднее число преобразований в очереди

так как из анализа системы G/G/1 следует, что

В качестве примера применения формулы Поллячика–Хинчина рассмотрим систему M/M/1

В качестве второго примера рассмотрим регулярное обслуживание, то есть систему M/D/1

Таким образом, система типа М/D/1 содержит на требований меньше, чем система М/М/1.

Для системы M/E_r/1

Это позволяет сделать вывод, что

Задача 1:

Вычислительная сеть M/D/1 обслуживает поток задач, запросы на выполнение которых поступают в случайные моменты времени (в среднем 9 требований в час). На решение одной задачи необходимо 5 минут.

Определить математическое ожидание:

Времени реакции системы на запрос – .